Площадь треугольника у которого известны все стороны. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Чтобы определить площадь треугольника, можно пользоваться разными формулами. Из всех способов самый легкий и часто применяемый - это умножение высоты на длину основания с последующим делением полученного результата на два. Однако данный метод далеко не единственный. Ниже вы сможете прочесть, как найти площадь треугольника, используя разные формулы.

Отдельно мы рассмотрим способы вычисления площади специфических видов треугольника - прямоугольного, равнобедренного и равностороннего. Каждую формулу мы сопровождаем коротким пояснением, которое поможет вам понять ее суть.

Универсальные способы нахождения площади треугольника

В приведенных ниже формулах используются специальные обозначения. Мы расшифруем каждое из них:

• a, b, c – длины трех сторон рассматриваемой нами фигуры;
• r – радиус окружности, которая может быть вписана в наш треугольник;
• R – радиус той окружности, которая может быть описана вокруг него;
• α - величина угла, образованного сторонами b и с;
• β - величина угла между a и c;
• γ - величина угла, образованного сторонами а и b;
• h – высота нашего треугольника, опущенная из угла α на сторону а;
• p – половина суммы сторон a, b и с.

Логически понятно, почему можно находить площадь треугольника этим способом. Треугольник легко достраивается до параллелограмма, в котором одна сторона треугольника будет выполнять роль диагонали. Площадь параллелограмма находится умножением длины одной из его сторон на значение высоты, проведенной к ней. Диагональ разделяет этот условный параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Следовательно, совершенно очевидно, что площадь нашего исходного треугольника должна равняться половине площади этого вспомогательного параллелограмма.

S=½ a · b·sin γ

Согласно этой формуле, площадь треугольника находится умножением длин двух его сторон, то есть а и b, на синус образованного ими угла. Эта формула логически выводится из предыдущей. Если опустить высоту из угла β на сторону b, то, согласно свойствам прямоугольного треугольника, при умножении длины стороны a на синус угла γ получаем высоту треугольника, то есть h.

Площадь рассматриваемой фигуры находим путем умножения половины радиуса окружности, которую в него можно вписать, на его периметр. Иными словами, находим произведение полупериметра на радиус упомянутой окружности.

S= a · b · с/4R

Согласно данной формуле, необходимую нам величину можно найти путем деления произведения сторон фигуры на 4 радиуса окружности, вокруг нее описанной.

Эти формулы универсальны, так как дают возможность определить площадь любого треугольника (разностороннего, равнобедренного, равностороннего, прямоугольного). Можно это сделать и при помощи более сложных вычислений, на которых мы подробно останавливаться не станем.

Площади треугольников со специфическими свойствами

Как найти площадь прямоугольного треугольника? Особенностью этой фигуры является то, что две ее стороны одновременно являются ее высотами. Если а и b являются катетами, а с становится гипотенузой, то площадь находим так:

Как найти площадь равнобедренного треугольника? В нем две стороны с длиной а и одна сторона с длиной b. Следовательно, его площадь определить можно путем деления на 2 произведения квадрата стороны а на синус угла γ.

Как найти площадь равностороннего треугольника? В нем длина всех сторон равняется а, а величина всех углов - α. Его высота равна половине произведения длины стороны а на корень квадратный из 3. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно квадрат стороны а умножить на корень квадратный из 3 и разделить на 4.

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны.

Можно найти, зная основание и высоту . Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a 1 и a 2 , а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника , площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:

Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника : Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.

Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.

Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h S = 2 1 ​ ⋅ a ⋅ h ,

A a a - основание треугольника;
h h h - высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
h = 5 h=5 h = 5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot 5=25 S = 2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника;
p p p - половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p = 2 1 ​ (a + b + c )

Эта формула называется формулой Герона .

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5

Найдем половину периметра p p p :

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6 p = 2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 S = 6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)} S = 2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ ) sin β sin γ ​ ,

A a a - длина стороны треугольника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - углы, прилежащие к стороне a a a .

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^{\circ} β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^{\circ} γ = 3 0 ∘

По формуле:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 S = 2 1 0 2 ​ ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R} S = 4 R a ⋅ b ⋅ c ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
R R R - радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус R R R окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5
R = 10 R=10 R = 1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 S = 4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S = p ⋅ r S=p\cdot r S = p ⋅ r ,

p p p - половина периметра треугольника:

p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p = 2 a + b + c ​ ,

a , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
r r r - радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

$a=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12 S = 6 ⋅ 2 = 1 2 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha) S = 2 1 ​ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α ) ,

b , c b, c b , c - стороны треугольника;

α \alpha α - угол между сторонами b b b и c c c .

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^\{\backslash circ\}\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5 S = 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 7 . 5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Порой в жизни встречаются такие ситуации, когда приходится копаться в памяти в поисках давно забытых школьных знаний. Например, нужно определить площадь земельного участка треугольной формы или же пришел черед очередного ремонта в квартире или частном доме, и нужно посчитать, сколько уйдет материала для поверхности с треугольной формой. Было время, когда вы могли решить такую задачку за пару минут, а теперь отчаянно пытаетесь вспомнить, как же определить площадь треугольника?

Не стоит из-за этого переживать! Ведь это вполне нормально, когда мозг человека решает переложить давно неиспользуемые знания куда-нибудь в удаленный уголок, из которого порой их не так-то и легко извлечь. Чтобы вам не пришлось мучиться с поиском забытых школьных знаний для решения такой задачи, в этой статье собраны различные методы, которые позволяют легко найти искомую площадь треугольника.

Общеизвестно, что треугольником называют такой вид многоугольника, который ограничен минимально возможным количеством сторон. В принципе, любой многоугольник можно разделить на несколько треугольников, соединив его вершины отрезками, которые не пересекают его стороны. Поэтому, зная треугольника, можно посчитать площадь практически любой фигуры.

Среди всех возможных треугольников, которые встречаются в жизни, можно выделить следующие частные виды: и прямоугольный.

Проще всего площадь треугольника рассчитывается, когда один из его углов прямой, то есть в случае с прямоугольным треугольником. Несложно заметить, что он представляет собой половину прямоугольника. Поэтому его площадь равна половине произведения сторон, которые образуют между собой прямой угол.

Если нам известны высота треугольника, опущенная из одной из его вершин на противоположную сторону, и длина этой стороны, которую называют основанием, то площадь рассчитывается как половина произведения высоты на основание. Записывается это с помощью такой формулы:

S = 1/2*b*h, в которой

S - искомая площадь треугольника;

b, h - соответственно, высота и основание треугольника.

Так легко рассчитать площадь равнобедренного треугольника, поскольку высота будет делить противоположную сторону пополам, и ее легко можно будет измерить. Если определяется площадь то в качестве высоты удобно брать длину одной из сторон, образующих прямой угол.

Все это конечно хорошо, но как определить, является ли один из углов треугольника прямым или нет? Если размер нашей фигуры небольшой, то можно воспользоваться строительным углом, чертежным треугольником, открыткой или другим предметом с прямоугольной формой.

Но что делать, если у нас треугольный земельный участок? В этом случае поступают следующим образом: отсчитывают от вершины предполагаемого прямого угла по одной из сторон расстояние кратное 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по другой стороне отмеряют в той же пропорции расстояние кратное 4 (40 см, 160 см, 4 м). Теперь нужно измерить расстояние между конечными точками этих двух отрезков. Если получилось значение кратное 5 (50 см, 250 см, 5 м), то можно утверждать, что угол прямой.

Если известно значение длины каждой из трех сторон нашей фигуры, то площадь треугольника можно определить, используя формулу Герона. Для того чтобы она имела более простой вид, применяют новую величину, которая называется полупериметром. Это сумма всех сторон нашего треугольника, разделенная пополам. После того как полупериметр посчитан, можно приступать к определению площади по формуле:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где

sqrt - квадратный корень;

p - значение полупериметра (p =(a+b+c)/2);

а,b,с - ребра (стороны) треугольника.

Но что делать, если треугольник имеет неправильную форму? Здесь возможны два способа. Первый из них состоит в том, чтобы попытаться разделить такую фигуру на два прямоугольных треугольника, сумму площадей которых посчитать отдельно, а затем сложить. Или же, если известен угол между двумя сторонами и размер этих сторон, то применить формулу:

S = 0.5 * ab * sinC, где

a,b - стороны треугольника;

с - величина угла между этими сторонами.

Последний случай на практике встречается редко, но тем не менее, в жизни все возможно, поэтому приведенная выше формула не будет лишней. Удачи в расчётах!